Question

已知單調遞增的等比數列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog₂a_n，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求s_n-n•2ⁿ⁺¹+50＜0成立的正整數n的最小值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，運用等差數列的性質和等比數列的通項公式，結合條件遞增，即可得到通項公式；
（Ⅱ）運用錯位相減法求得前n項和，s_n-n•2ⁿ⁺¹+50＜0得到指數不等式，解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
由題意有：2（a₃+2）=a₂+a₄
代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8，
∴

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

，
解之得：

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

，
又∵{a_n}單調遞增，∴a₁=2，q=2，
∴an=2n；
（Ⅱ）bn=2nlog22n=n•2n，
∴sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n…①
∴2sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1…②
∴②-①得：sn=n×2n+1-2-22-23-…-2n=n×2n+1-

2(2n-1)

2-1

=-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹+2，
由sn-n•2n+1+50＜0，得-2ⁿ⁺¹+52＜0，∴2ⁿ⁺¹＞52．
又當n≤4時，2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜52，
當n≥5時，2ⁿ⁺¹≥2⁶=64＞52．
故使sn-n•2n+1+50＜0成立的正整數n的最小值為5．

點評：本題考查等比數列的通項公式和求和公式，等差數列的性質，考查數列求和的方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．