Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)A（0，3），與x軸分別交于B（1，0）、C（5，0）兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D為線段OA的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線DC的解析式；
（3）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A′求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由于A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)已知，代入函數(shù)解析式中利用待定系數(shù)法就可以確定函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)D為線段OA的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么根據(jù)已知條件可以確定D的坐標(biāo)為（0，1）或，（0，2），而C的坐標(biāo)已知，利用待定系數(shù)法就可以確定直線CD的解析式；
（3）如圖，由題意，可得M（0，

3

2

），點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M′（0，-

3

2

），點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=3的對(duì)稱點(diǎn)為A'（6，3），連接A'M'，根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，A'M'的長(zhǎng)就是所求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑的長(zhǎng)，根據(jù)待定系數(shù)法可求出直線A'M'的解析式為y=

3

4

x-

3

2

，從而求出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可以求出A'M'=

15

2

，也就求出了最短總路徑的長(zhǎng)．

解答：解：（1）根據(jù)題意，c=3，
所以

a+b+3=0 25a+5b+3=0

解得

a= 3 5 b=- 18 5

所以拋物線解析式為y=

3

5

x²-

18

5

x+3．

（2）依題意可得OA的三等分點(diǎn)分別為（0，1），（0，2）．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．
當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，直線CD的解析式為y=-

1

5

x+1；
當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，直線CD的解析式為y=-

2

5

x+2．

（3）如圖，由題意，可得M（0，

3

2

）．
∵點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱，
∴點(diǎn)為M′（0，-

3

2

），
∴點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=3的對(duì)稱點(diǎn)為A'（6，3）．
連接A'M'．
根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，A'M'的長(zhǎng)就是所求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑的長(zhǎng)．
∴A'M'與x軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)，與直線x=3的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)．
∴可求得直線A'M'的解析式為y=

3

4

x-

3

2

．
∴可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

3

4

）．
由勾股定理可求出A′M′=

15

2

．
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑（ME+EF+FA）的長(zhǎng)為

15

2

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的解析式，圖形的對(duì)稱變換，求最短線段之和等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．