Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．問：線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，這樣的總共有幾個(gè)？并求出AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

存在  PA=；PA=1或PA=6 理由見解析

【解析】

試題分析： 由于以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)不能確定，故應(yīng)分兩種情況討論．

解：存在．

∵AD∥BC，∠A=90°，

∴∠B=90°，

當(dāng)△PAD∽△PBC時(shí)，

=

∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，

∴AP=①；

當(dāng)△ADP∽△BPC時(shí)，

=

∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，

∴PA=1或PA=6②；

由①②可知，P點(diǎn)距離A點(diǎn)有三個(gè)位置：PA=；PA=1或PA=6．

考點(diǎn)：相似三角形的判定．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定，解答此題時(shí)要注意分類討論，不要漏解．