Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=9，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)．

（1）求證：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由；

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）3或5．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AEF=∠B，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠CEP=∠BAE，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；

（2）由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，得到∠AME＞∠AEF，從而AE≠AM；然后

分兩種情況討論：①當(dāng)AE=EM時(shí)；②當(dāng)AM=EM時(shí)．

試題解析：解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM．

（2）重疊部分能構(gòu)成等腰三角形．

∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；

分兩種情況討論：

①當(dāng)AE=EM時(shí)，則△ABE≌△ECM，∴CE=AB=6，∴BE=BC﹣EC=3；

②當(dāng)AM=EM時(shí)，則∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴ ，∴CE=，∴BE=9-4=5．