Question

（2013•湘潭）在數(shù)學(xué)活動課中，小輝將邊長為

2

和3的兩個正方形放置在直線l上，如圖1，他連結(jié)AD、CF，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)AD=CF．
（1）他將正方形ODEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2，試判斷AD與CF還相等嗎？說明你的理由；
（2）他將正方形ODEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至直線l上，如圖3，請你求出CF的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“邊角邊”證明△AOD和△COF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）與（1）同理求出CF=AD，連接DF交OE于G，根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=

1

2

OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式計算即可求出AD．

解答：解：（1）AD=CF．
理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，
即∠AOD=∠COF，
在△AOD和△COF中，

AO=CO ∠AOD=∠COF OD=OF

，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD=CF；

（2）與（1）同理求出CF=AD，
如圖，連接DF交OE于G，則DF⊥OE，DG=OG=

1

2

OE，
∵正方形ODEF的邊長為

2

，
∴OE=

2

×

2

=2，
∴DG=OG=

1

2

OE=

1

2

×2=1，
∴AG=AO+OG=3+1=4，
在Rt△ADG中，AD=

AG2+DG2

=

42+12

=

17

，
∴CF=AD=

17

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，對角線相等且互相垂直平分是解題的關(guān)鍵，（2）作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．