Question

認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的探究片段，完成所提出的問題．
探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC={90°}+

1

2

∠A，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A
（1）探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．
（2）探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）
（3）拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義表示出∠OBC，∠OCD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠ACD和∠OCD，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式整理即可得解；
（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
（3）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）探究2結(jié)論：∠BOC=

1

2

∠A．
理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCD=

1

2

∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一個外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCD=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC=

1

2

∠A+∠OBC，
又∵∠OCD是△BOC的一個外角，
∴∠BOC=∠OCD-∠OBC=

1

2

∠A+∠OBC-∠OBC=

1

2

∠A；

（2）探究3：結(jié)論∠BOC=90°-

1

2

∠A．
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∵O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，
∴∠OBC=

1

2

∠DBC，∠OCB=

1

2

∠BCE，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠DBC+∠BCE）=

1

2

（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°+

1

2

∠A，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°+

1

2

∠A）=90°-

1

2

∠A；

（3）拓展：結(jié)論∠BOC=

1

2

（∠A+∠D）．
在四邊形ABCD中，∠ABC+∠BCD=（360°-∠A-∠D），
∵O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠BCD）=

1

2

（360°-∠A-∠D），
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（360°-∠A-∠D）=

1

2

（∠A+∠D），
即∠BOC=

1

2

（∠A+∠D）．

點評：本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．