Question

【題目】如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（—2，—4 ），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)D.

（2）若使軸上一點(diǎn)P，使P 到A、D的距離之和最小，求P的坐標(biāo).

（3）若拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)M，使AM + OM最小，求AM + OM的最小值.

Answer 1

【答案】（1），D（1， ）；（2）P（，0）；（3）.

【解析】試題分析：

（1）由拋物線過點(diǎn)O（0，0），B（2，0）可設(shè)其解析式為，再代入點(diǎn)A（-2，-4 ），可解得的值，從而可得拋物線的解析式；

把所得解析式配方化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”連接AD交軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求點(diǎn)；由A、D的坐標(biāo)求出直線AD的解析式，就可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）由題意可知，點(diǎn)O、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，因此連接AB交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則M為所求點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)度就是OM+AM的最小值；根據(jù)A、B兩點(diǎn)長(zhǎng)坐標(biāo)由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算出AB的長(zhǎng)度即可.

試題解析：

（1）拋物線經(jīng)過O（0，0），B（2，0），

則拋物線可設(shè)為，由拋物線過點(diǎn)A（-2，-4 ）可得： , 解得：

拋物線解析式為： 即： ，

配方得： ，

∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1， ）；

（2）連接AD交x軸于點(diǎn)P,

設(shè)直線AD的解析式為： ，

∵D的坐標(biāo)為：（1， ），A的坐標(biāo)為：（-2，-4 ），

∴有： ，解得： ，

∴直線AD為： .

當(dāng)y=0時(shí)， ，

解得x =

∴ P的坐標(biāo)為： ；

（3）由（1）知：拋物線為：

∴對(duì)稱軸為：直線為

∵點(diǎn)O與點(diǎn)B關(guān)于直線為對(duì)稱，連接AB交直線為于M，

∴點(diǎn)M為所求點(diǎn)，連接MO，則MO+MA的最小值就是AB的長(zhǎng).

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為： ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為： ，

∴AB=，

∴AM + OM的最小值為.