Question

【題目】如圖1，在ABEF中，AB=2，AF＜AB，現(xiàn)將線段EF在直線EF上移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)線段EF的對(duì)應(yīng)線段為CD，連接AD、BC．

（1）在上述移動(dòng)過(guò)程中，對(duì)于四邊形的說(shuō)法不正確的是 B

A．面積保持不變 B．只有一個(gè)時(shí)刻為菱形

C．只有一個(gè)時(shí)刻為矩形 D．周長(zhǎng)改變

（2）在上述移動(dòng)過(guò)程中，如圖2，若將△ABD沿著B(niǎo)D折疊得到△A′BD（點(diǎn)A′與點(diǎn)C不重合），A′B交CD于點(diǎn)O．

①試問(wèn)A′C與BD平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②若以A′、D、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且對(duì)角線的夾角為60°，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)、B；(2)、①、理由見(jiàn)解析；②、1或

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)平移的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；(2)、①根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊和角相等，再根據(jù)平行線的判定解答即可； ②根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析解答．

試題解析：(1)、因?yàn)槠揭�，AB保持不變，且AB與CD間的距離不變，所以四邊形ABCD的面積不變，故A正確；當(dāng)AD⊥CD時(shí)，四邊形ABCD可以是矩形，故C正確；因?yàn)锳D的長(zhǎng)度有變化，所以四邊形ABCD的周長(zhǎng)改變，故D正確；

(2)、①、A'C∥BD．理由如下：

如圖2，由ABEF可得，AB=CD，AB∥CD，又根據(jù)對(duì)折可知AB=A'B，∠3=∠2，∴A'B=CD，∠1=∠3，

∴OD=OB．∴OA'=OC， ∴∠4=∠5．∵∠BOD=∠A'OC，∴∠4+∠5=∠1+∠3， 即∠1=∠4， ∴A'C∥BD．

②、如圖3，由①知CD=AB=2，∠1=∠2，∠A=∠3．當(dāng)四邊形A'DBC矩形時(shí)，有∠DBC=90°，OA'=OD=OB=OC=1．

當(dāng)∠A'OD=60°，則∠DOB=120°，∴∠1=30°．∴∠2=30°，∠A=∠3=60°．∴∠ADB=90°．

∴在Rt△ADB中，AD=AB=1．

當(dāng)∠DOB=60°（如圖4），則△ODB為正三角形，∴∠2=∠1=60°，∠A=∠3=30°BD=OD=1．∴∠ADB=90°

∴在Rt△ADB中，tan∠2=，∴AD=BDtan∠2=1tan60°=．

綜上可得，AD的長(zhǎng)為1或．