Question

如圖1，已知四邊形ABCD是菱形，G是線段CD上的任意一點時，連接BG交AC于F，過F作FH∥CD交BC于H，可以證明結(jié)論

FH

AB

=

FG

BG

成立．（考生不必證明）
（1）探究：如圖2，上述條件中，若G在CD的延長線上，其它條件不變時，其結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（2）計算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直線CD上，且CG=16，連接BG交AC所在的直線于F，過F作FH∥CD交BC所在的直線于H，求BG與FG的長．
（3）發(fā)現(xiàn)：通過上述過程，你發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時，結(jié)論

FH

AB

=

FG

BG

還成立嗎？

Answer 1

分析：（1）借助中間比進行證明，根據(jù)平行線分線段成比例定理分別證明兩個比都等于

CH

BC

即可；
（2）首先應(yīng)畫出兩個不同的圖形進行分析．構(gòu)造30°的直角三角形，然后計算兩條直角邊的長，在兩種情況中，GQ=16+3=19或16-3=13，然后根據(jù)勾股定理計算BG的長，進一步根據(jù)比例式求得FG的長；
（3）成立，根據(jù)（2）中的過程，可以分別求得左右兩個比，從而證明結(jié)論．

解答：解：（1）結(jié)論

FH

AB

=

FG

BG

成立
證明：由已知易得FH∥AB，
∴

FH

AB

=

HC

BC

，
∵FH∥GC，

HC

BC

=

FG

BG

∴

FH

AB

=

FG

BG

．

（2）∵G在直線CD上，
∴分兩種情況討論如下：
①G在CD的延長線上時，DG=10，
如圖1，過B作BQ⊥CD于Q，
由于四邊形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴BC=AB=6，∠BCQ=60°，
∴BQ=3

3

，CQ=3，
∴BG=

192+(3 3 )2

=2

97

．
又由FH∥GC，可得

FH

GC

=

BH

BC

，
而△CFH是等邊三角形，
∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH，
∴

FH

16

=

6-FH

6

，
∴FH=

48

11

，
由（1）知

FH

AB

=

FG

BG

，
∴FG=

FH•BG

AB

=

48

11

•

1

6

•2

97

=

16

11

97

．
②G在DC的延長線上時，CG=16，
如圖2，過B作BQ⊥CG于Q，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴BC=AB=6，∠BCQ=60°．
∴BQ=3

3

，CQ=3．
∴BG=

132+(3 3 )2

=14．
又由FH∥CG，可得

FH

GC

=

BH

BC

，
∴

FH

16

=

BH

6

．
∵BH=HC-BC=FH-BC=FH-6，
∴FH=

48

5

．
∵FH∥CG，
∴

BF

BG

=

FH

CG

．
∴BF=14×

48

5

÷16=

42

5

．
∴FG=14+

42

5

=

112

5

．

（3）G在DC的延長線上時，

FH

AB

=

48

5

÷6=

8

5

，

FG

BG

=

112

5

÷14=

8

5

，
∴

FH

AB

=

FG

BG

成立．
結(jié)合上述過程，發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時，結(jié)論

FH

AB

=

FG

BG

還成立．

點評：證明比例式的時候，可以利用相似或利用平行線分線段成比例定理進行證明．