Question

【題目】如圖①，為美化校園環(huán)境，某校計(jì)劃在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地上，修建一個(gè)長方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的甬道，設(shè)甬道的寬為a米．

①②

(1)用含a的式子表示花圃的面積；

(2)如果甬道所占面積是整個(gè)長方形空地面積的，求此時(shí)甬道的寬；

(3)已知某園林公司修建甬道、花圃的造價(jià)y1(元)、y2(元)與修建面積x(平方米)之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示．如果學(xué)校決定由該公司承建此項(xiàng)目，并要求修建的甬道寬不少于2米且不超過10米，那么甬道的寬為多少米時(shí)，修建的甬道和花圃的總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少元？

Answer 1

【答案】（1）(4a2－200a＋2 400)平方米；（2）5米；（3）甬道的寬為2米時(shí)，修建的甬道和花圃的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為105 920元．

【解析】試題分析：（1）用含a的式子先表示出花圃的長和寬后利用其矩形面積公式列出式子即可；

（2）根據(jù)通道所占面積是整個(gè)長方形空地面積的，列出方程進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）根據(jù)圖象，設(shè)出通道和花圃的解析式，用待定系數(shù)法求解，再根據(jù)修建的通道和花圃的總造價(jià)為105920元列出關(guān)于a的方程，通過解方程求得a的值．

試題解析：（1）由圖可知，花圃的面積為（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400．

（2）當(dāng)通道所占面積是整個(gè)長方形空地面積的，即花圃所占面積是整個(gè)長方形空地面積的，則4a2﹣200a+2400=60×40×，

解方程得：a1=5，a2=45（不符合題意，舍去）

即此時(shí)通道寬為5米；

（3）當(dāng)a=10時(shí)，花圃面積為（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）

即此時(shí)花圃面積最少為800（平方米）．

根據(jù)圖象可設(shè)y1=mx，y2=kx+b，

將點(diǎn)（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，則有

1200m=48000，解得：m=40

∴y1=40x且有，

解得： ，

∴y2=35x+20000．

∵花圃面積為：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，

∴通道面積為：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a

∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920

解得a1=2，a2=48（舍去）．

答：通道寬為2米時(shí)，修建的通道和花圃的總造價(jià)為105920元．