Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度沿CA方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線，分別交⊙O于點(diǎn)M和點(diǎn)N，已知⊙O的半徑為l，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）若AC＝5，則當(dāng)t＝時(shí)，四邊形AMQN為菱形；當(dāng)t＝時(shí)，NQ與⊙O相切；

（2）當(dāng)AC的長(zhǎng)為多少時(shí)，存在t的值，使四邊形AMQN為正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出此時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）AC=3，t=1．

【解析】

（1）AP=t,CQ=t,則PQ=5-2t,由于NM⊥AB，根據(jù)垂徑定理得PM=PN,根據(jù)菱形的判定方法，當(dāng)PA=PQ時(shí)，四邊形AMQN為菱形，即t=5-2t，然后解一元一次方程可求t的值；根據(jù)切線的判定定理，當(dāng)∠ONQ=90時(shí)，NQ與⊙O相切，如圖，此時(shí)OP=t-1，OQ=AC-OA-QC=4-t，再證明Rt△ONP∽R(shí)t△ONQ，利用相似比可得t2-5t+5=0，然后解一元二次方程可得到t的值；

（2）當(dāng)四邊形AMQN為正方形，則∠MAN=90，又可判斷AQ為直徑，于是得到點(diǎn)P在圓心，所以t=AP=1，CQ=t=1，則得到此時(shí)AC=AQ+CQ=3．

（1），；

（2）當(dāng)AC的長(zhǎng)為3時(shí)，存在t=1，使四邊形AMQN為正方形．理由如下：

∵四邊形AMQN為正方形．

∴∠MAN=90．∴MN為⊙O的直徑；

∴MN=AQ=2．∴t=AP==1，

又∵CQ=t=1，∴AC=AQ+CQ=2+1=3