Question

探究：如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，E為AD的中點(diǎn)，若EF∥AB．求證：BF=CF

知識應(yīng)用：如圖，坐標(biāo)平面內(nèi)有兩個點(diǎn)A和B其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，y₁），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₂，y₂），求AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)．

知識拓展：在上圖中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，-1），分別在x軸和y軸上找一點(diǎn)C和D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：【探究】：過點(diǎn)F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延長線于點(diǎn)G，求證△CFG≌△BFH即可；
【知識應(yīng)用】：分別過A、B、C、三點(diǎn)作x軸的垂線，由A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解點(diǎn)C的坐標(biāo)；
【知識拓展】：由于點(diǎn)C、D的位置不確定，也即AB可能是平行四邊形的邊長，亦有可能是其對角線，所以應(yīng)分幾種情況：
即①當(dāng)AB是平行四邊形一條邊，且點(diǎn)C在x軸的正半軸時，則AD與BC互相平分；
②當(dāng)AB是平行四邊形一條邊，且點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸時，又是一種情況；
③當(dāng)AB是對角線時，所以應(yīng)分開來分別求解．

解答：【探究】證明：過點(diǎn)F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延長線于點(diǎn)G，

∵AH∥EF∥DG，AD∥GH，
∴四邊形AHFE和四邊形DEFG都是平行四邊形，
∴FH=AE，F(xiàn)G=DE，
∵AE=DE，
∴FG=FH，
∵AB∥DG，
∴∠G=∠FHB，∠GCF=∠B，
∴△CFG≌△BFH，
∴FC=FB；

【知識應(yīng)用】過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BP⊥x軸于點(diǎn)P，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₂，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x₁，0），
由探究的結(jié)論可知，MN=MP，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

x1+ x   2

2

，0），
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為

x1+ x   2

2

，
同理可求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為

y1+y2

2

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

x1+ x   2

2

，

y1+y2

2

）．

【知識拓展】
①當(dāng)AB是平行四邊形一條邊，且點(diǎn)C在x軸的正半軸時，AD與BC互相平分，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，b）
由上面的結(jié)論可知：-6+a=4+0，-1+0=5+b，
∴a=10，b=-6，
∴此時點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-6），
②同理，當(dāng)AB是平行四邊形一條邊，且點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸時，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-10，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，6），
③當(dāng)AB是對角線時點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）．

點(diǎn)評：本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及平行四邊形的判定及性質(zhì)和坐標(biāo)問題，應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上熟練求解．