Question

在直角坐標(biāo)系xOy 中，已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（－4，0）、B（0，－3），與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C，若△AOB∽△BOC（相似比不為1）．
小題1:（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
小題2:（2）求△ABC的外接圓半徑r；
小題3:（3）在線段AC上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以線段BM為直徑的圓與線段AB交于N點(diǎn)，且以點(diǎn)O、A、N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

小題1:⑴∵△AOB∽△BOC（相似比不為1），
∴. 又∵OA="4," OB=3,
∴OC=3²×=. ∴點(diǎn)C(, 0).                         …………………1分
設(shè)圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)解析式是y=ax²+bx+c,
則c= -3，且                       …………………2分
即
解得,a=, b=.
∴這個函數(shù)的解析式是y =x²+x-3. 
小題2:⑵∵△AOB∽△BOC（相似比不為1），
∴∠BAO=∠CBO.
又∵∠ABO+ ∠BAO =90°，
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°.             ………………4分
∴AC是△ABC外接圓的直徑.
∴ r =AC=×[-(-4)]=.
小題3:⑶∵點(diǎn)N在以BM為直徑的圓上，
∴∠MNB=90°.                                     ……………………6分
①.    當(dāng)AN=ON時，點(diǎn)N在OA的中垂線上，
∴點(diǎn)N₁是AB的中點(diǎn)，M₁是AC的中點(diǎn).
       ∴AM₁=" r" =，點(diǎn)M₁(-, 0)，即m₁= -.             ………………7分
②.     當(dāng)AN=OA時，Rt△AM₂N₂≌Rt△ABO，
∴AM₂=AB=5，點(diǎn)M₂(1, 0)，即m₂=1.
③. 當(dāng)ON=OA時，點(diǎn)N顯然不能在線段AB上.
綜上，符合題意的點(diǎn)M（m，0）存在，有兩解：
m= -，或1.   

略