Question

如圖，在△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)．有下列條件：①AD平分∠BAC；②DE⊥AB，DF⊥AC；③AD⊥EF，以此三個中的兩個作為命題的條件，另一個作為命題的結(jié)論，構(gòu)成三個命題：①②?③；①③?②；②③?①．
（1）以上三個命題中，屬于真命題的是

①②?③或②③?①

．
（2）請選擇一個真命題進(jìn)行證明命題（先寫出所選命題，然后證明）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷即可；
（2）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=DF，再利用“HL”證明Rt△ADE和△Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AF，然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明．

解答：（1）解：真命題是①②?③或②③?①；

（2）證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和△Rt△ADF中，

AD=AD DE=DF

，
∴Rt△ADE≌△Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF．

證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC；
∴點(diǎn)A，E，D，F(xiàn)共圓，且AD是直徑，
∵AD⊥EF，
∴

DE

=

DF

，
∴∠EAD=∠FAD，
即AD平分∠BAC．

點(diǎn)評：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于先確定出真命題．