Question

如圖，當(dāng)x=2時，拋物線y=ax²+bx+c取得最小值-1，并且與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A，B（A在B的右邊）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）D是線段AC的中點，E為線段AC上的一動點（不與A，C重合），過點E作y軸的平行線EF與拋物線交于點F．問：是否存在△DEF與△AOC相似？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△APD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點p的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知，當(dāng)x=2時，拋物線的最小值為-1，因此拋物線的頂點坐標為（2，-1）；可用頂點式來設(shè)拋物線的解析式，然后將C的坐標代入即可求出拋物線的解析式．
（2）由于EF∥OC，那么∠FED=45°，因此要使三角形EFD與三角形COA相似，只有兩種情況：當(dāng)D為直角頂點時，∠EDF=90°，由于D是AC中點，而FD⊥AC，三角形AOC又是個等腰直角三角形，因此DF正好在∠COA的平分線上，即DF在直線y=x上，此時可先求出直線AC的函數(shù)關(guān)系式，然后聯(lián)立拋物線的解析式求出F的坐標，由于E、F的橫坐標相同，將F的橫坐標代入AC所在的直線的解析式中即可求出E點的坐標．
（3）當(dāng)F為直角頂點時，∠EFD=90°，那么DF與三角形AOC的中位線在同一直線上，即DF所在的直線的解析式為y=2，然后可根據(jù)（2）的方法求出p點的坐標．

解答：解：（1）由題意可設(shè)拋物線的關(guān)系式為
y=a（x-2）²-1
因為點C（0，3）在拋物線上
所以3=a（0-2）²-1，即a=1
所以，拋物線的關(guān)系式為y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）令y=0，即x²-4x+3=0，
得點A（3，0），B（1，0），線段AC的中點為D（

3

2

，

3

2

）
直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3
因為△OAC是等腰直角三角形，
所以，要使△DEF與△AOC相似，△DEF也必須是等腰直角三角形．
由于EF∥OC，因此∠DEF=45°，
所以，在△DEF中只可能以點D、F為直角頂點．
當(dāng)F為直角頂點時，DF⊥EF，此時△DEF∽△ACO，DF所在直線為y=

3

2

由x²-4x+3=

3

2

，
解得x=

4- 10

2

，x=

4+ 10

2

＞3（舍去）
將x=

4- 10

2

代入y=-x+3，
得點E(

4- 10

2

，

2+ 10

2

)．
當(dāng)D為直角頂點時，DF⊥AC，此時△DEF∽△OAC，由于點D為線段AC的中點，
因此，DF所在直線過原點O，其關(guān)系式為y=x．
解x²-4x+3=x，得x=

5- 13

2

，x=

5+ 13

2

＞3（舍去）
將x=

5- 13

2

代入y=-x+3，
得點E（

5- 13

2

，

1+ 13

2

）．
則E的坐標是：（

4- 10

2

，

2+ 10

2

）或（

5- 13

2

，

1+ 13

2

）．

（3）點P的坐標為：(2，

3+ 17

2

)，(2，

3- 17

2

)，(2，

1

2

)，(2，

14

2

)，(2，-

14

2

)

點評：本題結(jié)合等腰三角形的相關(guān)知識考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，要注意的是（3）中在不確定△EDF的直角頂點的情況下要分類進行討論，不要漏解．