Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），BC與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D．

（1）求該拋物線的表達(dá)式，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)A作AE⊥AC交拋物線于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F在射線AE上，若△ADF∽△ABC，求點(diǎn)F 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），D（1，-3）；（2）；（3）或．

【解析】分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),將C（0，-4）代入求解即可；記拋物線的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為F，先求得拋物線的對(duì)稱軸，則可得到FB的長，然后再證明△BFD為等腰直角三角形，從而可得到FD=FB=3，故此可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂為H．先證tan∠EAH=tan∠ACO=,設(shè)EH=t,則AH=2t,從而可得到E（-2+2t,t）,最后，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；（3）記AE與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為F，記對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G．由相似三角形的性質(zhì)可得到∠ADF=∠ABC=45°，然后再證明∠ADF=45°，然后證明△AFG∽△AEH，最后，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得FG的．

本題解析：解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）(x-4），C（0，-4）代入得：-8a= -4，解：a=，∴拋物線的解析式為y=x-x-4.

如下圖所示：記拋物線的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為F.

∵拋物線的對(duì)稱軸為x==1, ∴BF=OB-OF=3, ∵BO=OC=4, ∠BOC=90°, ∴∠OBC=45. ∴△BFD為等腰直角三角形，∴FD=FB=3，∴D(1，-3)

(2)如下圖：過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂為H，

∵∠EAB+∠BAC=90°, ∠BAC+∠ACO=90°, ∴∠EAH=∠ACO, ∴tan∠EAH=tan∠ACO=,設(shè)EH=t,則AH=2t, ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2+2t,t）,將（-2+2t,t）代入拋物線的解析式為： (-2+2t)-(-2+2t)-4=t,解得：t=或t=0(舍去)，

∴E（5， ）.

(3)如下圖所示：

∵△ADF∽△ABC, ∴∠ADF=∠ABC=45°,由（2）知∠BDF=45°, ∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于DF對(duì)稱，∴∠ADF=∠ABC, ∴點(diǎn)F在拋物線的對(duì)稱軸上，∵FG∥EH, ∴△AFG∽△AEH. ∴,即,解得：FG=,∴F(1， ).