Question

【題目】如圖，已知 MN∥PQ，B 在 MN 上，C 在 PQ 上，A 在 B 的左側(cè)，D 在 C 的右側(cè)，DE 平分∠ADC，BE平分∠ABC，直線 DE，BE 交于點(diǎn) E，∠CBN=120°．

（1）若∠ADQ=110°，求∠BED 的度數(shù)；

（2）將線段 AD 沿 DC 方向平移，使得點(diǎn) D 在點(diǎn) C 的左側(cè)，其他條件不變，若∠ADQ=n°，求∠BED 的度數(shù)（用含 n 的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（1）65°；（2）∠BED=210°﹣（n）°或（n）°﹣30°或 30°﹣（n）°．

【解析】（1）如圖1中，延長(zhǎng)DE交MN于H．利用∠BED=∠EHB+∠EBH，即可解決問(wèn)題；
（2）分三種情形討論即可解決問(wèn)題．

（1）如圖 1 中，延長(zhǎng) DE 交 MN 于 H．

∵∠ADQ=110°，ED 平分∠ADP，

∴∠PDH=∠PDA=35°，

∵PQ∥MN，

∴∠EHB=∠PDH=35°，

∵∠CBN=120°，EB 平分∠ABC，

∴∠EBH=∠ABC=30°，

∴∠BED=∠EHB+∠EBH=65°．

（2）有 3 種情形，如圖 2 中，當(dāng)點(diǎn) E 在直線 MN 與直線 PQ 之間時(shí)．延長(zhǎng) DE 交 MN 于 H．

∵PQ∥MN，

∴∠QDH=∠DHA=n°，

∴∠BED=∠EHB+∠EBH=180°﹣（n）°+30°=210°﹣（n）°，

當(dāng)點(diǎn) E 在直線 MN 的下方時(shí)，如圖 3 中，

設(shè) DE 交 MN 于 H．

∵∠PBC=∠ABP=30°，

∴∠HBE=∠ABP=30°（對(duì)頂角）.

∵∠ADH=∠CDH=（n）°，

∴∠CDH=∠DHB=（n）°(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).

又∵∠DHB=∠HBE+∠HEB，

∴∠BED=（n）°﹣30°，

當(dāng)點(diǎn) E 在 PQ 上方時(shí)，如圖 4 中，

設(shè) PQ 交 BE 于 H．同法可得∠BED=30°﹣（n）°．

綜上所述，∠BED=210°﹣（n）°或（n）°﹣30°或 30°﹣（n）°．