Question

（2013•永安市質(zhì)檢）在一張長方形ABCD紙張中，AB=25cm，AD=20cm，現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方法折疊，請(qǐng)解決下列問題?（1）如圖1，折痕為DE，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在CD上，則折痕DE的長為

20

2

cm；
（2）如圖2，H、G分別為BC、AD的中點(diǎn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在HG上，折痕為DE，求重疊部分（△DEF）的面積；
（3）如圖3，在圖2中，把長方形ABCD沿著HG剪開，變成兩張長方形紙片，將這兩張紙按圖形位置任意疊合后，發(fā)現(xiàn)重疊部分都是菱形，顯然，這些菱形中周長最短是40cm．是否存在疊后周長最大的菱形？若存在，請(qǐng)求出疊合后周長最大的菱形的周長和面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知AD=AE=20cm，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）由折疊的性質(zhì)可得到DG=

1

2

AD=

1

2

DE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠EDA=30°，由銳角三角函數(shù)的定義得到AE的長，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)GK=x，則HK=25-x，利用勾股定理即可求出x的值，進(jìn)而可得出菱形的周長求出其面積．

解答：解：（1）∵四邊形ADFE是正方形，
∴DE=

AD2+AE2

=

202+202

=20

2

（cm）；
故答案為：20

2

；

（2）由折疊的性質(zhì)可知，AD=DF，
∵GH分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴GD=

1

2

AD=

1

2

DF
∴在Rt△DGE中，∠GFD=30°，∠GDF=60°，
∵∠GDE=∠EDF，
∴∠EDA=30°．
∴在Rt△ADE中，tan∠EDA=

AE

AD

，
∴AE=AD•tan30°=

20 3

3

∴S_△DEF=

1

2

AE•AD=

1

2

×20×

20 3

3

=

200 3

3

；

（3）最大的菱形如圖所示：
設(shè)GK=x，則HK=25-x，
x²=（25-x）²+10²，
解得x=

29

2

，
則菱形的周長為58cm，
此時(shí)菱形的面積S=

29

2

×10=145．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形的翻折變換、菱形及矩形的性質(zhì)、三角形的面積公式，熟知圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．