Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)分別為，，且，直線軸，在軸上有一動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線與拋物線、直線的交點(diǎn)分別為、．

求拋物線的解析式；

當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；

當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】 ；當(dāng)時(shí)，面積的最大值為；或或．

【解析】

（1）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，再由即可求得、，所以、，把代入即可求得m的值，由此可得拋物線的解析式；（2）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)兩種情況求得面積與t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得兩種情況下面積的最大值，比較即可解答；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，，再由△AOB∽△AQP或△AOB∽△PQA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別列出方程求解即可；②當(dāng)時(shí)，，，再由△AOB∽△AQP或△AOB∽△PQA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別列出方程求解即可.

由題意知、是方程的兩根，

∴，

由

解得：

∴、

則，

解得：，

∴該拋物線解析式為：；

可求得

設(shè)直線的解析式為：，

∵

∴

∴直線的解析式為：，

要構(gòu)成，顯然，分兩種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與交點(diǎn)為，則：，

∵，∴，

∴

，

此時(shí)最大值為：，

②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與交點(diǎn)為，則：，

∵，∴，

∴

，

當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為：，

綜上可知，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為；

如圖，連接，則中，，，，

，，

①當(dāng)時(shí)，，，

若：，則：，

即：，

∴（舍），或，

若，則：，

即：，

∴（舍）或（舍），

②當(dāng)時(shí)，，，

若：，則：，

即：，

∴（舍），或，

若，則：，

即：，

∴（舍）或，

∴或或．