Question

已知：拋物線，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊．
（1）求證：拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（2）設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線與y軸交于點(diǎn)N，若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=a，△MNE與△MNF的面積比為5：1，求證：△ABC是等邊三角形；
（3）在（2）的條件下，設(shè)△ABC的面積為，拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q，問(wèn)是否存在過(guò)P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓？若存在，求出圓的圓心坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，用根的判別式和三角形三邊關(guān)系即可證得；
（2）先根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸求出a、b的關(guān)系．然后聯(lián)立拋物線與直線l的解析式，求出E、F的橫坐標(biāo)，已知△MNE的面積是△MNF的面積的5倍，根據(jù)等底三角形的面積比等于高的比，由此可得出E的橫坐標(biāo)是F的橫坐標(biāo)的5倍，由此可求出a、c的關(guān)系，由此可求出三角形ABC的形狀為等邊三角形，得證；
（3）由（2）得到三角形ABC為等邊三角形，根據(jù)面積求出等邊三角形的邊長(zhǎng)，即可得到三角形ABC的邊長(zhǎng)，即得到a=b=c的值，代入確定出拋物線解析式，令解析式中的y=0，求出x的值，即可得到P和Q的橫坐標(biāo)，確定出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出PQ的長(zhǎng)，設(shè)圓H為滿足題意的圓，根據(jù)P與Q關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，得到HJ垂直于PQ，根據(jù)垂徑定理得到J為PQ中點(diǎn)，即可求出PJ的長(zhǎng)，又圓心H在x=2上，且圓H與y軸相切，得到圓心H的橫坐標(biāo)為2，且圓H的半徑為2，即HP=2，在直角三角形HPJ中，根據(jù)勾股定理求出HJ的長(zhǎng)，即為圓心H的縱坐標(biāo)，寫(xiě)出圓心H坐標(biāo)即可．
解答：（1）證明：令y=0，則有x²-（a+b）x+=0，
∴△=（a+b）²-c²，
由于a、b、c分別是△ABC的三邊，
∴a+b＞c＞0，
∴（a+b）²＞c²，
∴△＞0，
因此拋物線總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）證明：由題意知：x==a，因此a=b．
設(shè)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，
聯(lián)立拋物線和直線y=ax-bc可得：x²-2ax+=ax-ac，
即x²-3ax+=0，
∴m=，n=
由題意可知：m=5n；
即3a+=15a-5
即5a²-4ac-c²=0，
解得a=-（不合題意舍去），a=c，
因此a=b=c，△ABC為等邊三角形；

（3）解：存在過(guò)P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓，理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為m，則邊上的高為m，
∴S_△ABC=m²=，即m²=4，解得m=2，
則a=b=c=2，拋物線解析式為y=x²-4x+1，
令y=0，得到x²-4x+1=0，解得x₁=2-，x₂=2+，
∴P（2-，0），Q（2+，0），PQ=2，
∵HJ⊥PQ，∴PJ=QJ=PQ=，
∵P與Q關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=2對(duì)稱(chēng)，且過(guò)P和Q的圓與y軸相切于I，
∴HI=2，即圓的半徑為2，則HP=2，
在Rt△PHJ中，根據(jù)勾股定理得：HJ²=PH²-PJ²，
即HJ==1，
則圓心H坐標(biāo)為（2，1）或（2，-1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、韋達(dá)定理、函數(shù)圖象交點(diǎn)、垂徑定理，直線與圓相切的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；本題有一定的難度，綜合性較強(qiáng)，常綜合多個(gè)考點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法，因而解答時(shí)需“分解題意”，即將一個(gè)大問(wèn)題分解為一個(gè)一個(gè)小問(wèn)題，從而解決問(wèn)題．本題第三問(wèn)根據(jù)等邊三角形ABC的面積求出邊長(zhǎng)，從而得到a，b及c的值，確定出拋物線的解析式是解題的突破點(diǎn)．