Question

如圖，一把“T型”尺（圖1），其中MN⊥OP，將這把“T型”尺放置于矩形ABCD中（其中AB=4，AD=5），使邊OP始終經(jīng)過點A，且保持OA=AB，“T型”尺在繞點A轉(zhuǎn)動的過程中，直線MN交邊BC、CD于E、F兩點．（圖2）
（1）試問線段BE與OE的長度關(guān)系如何？并說明理由；
（2）當(dāng)△CEF是等腰直角三角形時，求線段BE的長；
（3）設(shè)BE=x，CF=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域．

Answer 1

分析：（1）線段BE與OE的長度相等，如圖，連接AE，在△ABE與△AOE中，已知條件可以證明它們?nèi)�等，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）延長AO交BC于點T，由于△CEF是等腰直角三角形，由此可以得到△OET與△ABT均為等腰直角三角形，而在△ABT中，AB=4，利用勾股定理即可求出AT，然后可以求出線段BE的長；
（3）在BC上取點H，使BH=BA=4，過點H作AB的平行線，交EF、AD于點K、L，如圖，根據(jù)已知條件可以證明四邊形ABHL為正方形，然后得到KL=KO，令HK=a，則在△HEK中，EH=4-x，EK=x+4-a，利用勾股定理可以求出用x表示的a的值，又HL∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出函數(shù)關(guān)系式；要求BE的最大值，則當(dāng)點F和點D重合，根據(jù)勾股定理求得OF=3，設(shè)BE=OE=x，在直角三角形CEF中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解．

解答：解：（1）線段BE與OE的長度相等
如圖，連接AE，在△ABE與△AOE中，
∵OA=AB，AE=AE，∠ABE=∠AOE=90°，
∴△ABE≌△AOE，
∴BE=OE；


（2）延長AO交BC于點T，
∵∠OEC=∠OEC，∠EOT=∠C=90°，
∴△OET∽△CEF，
同理，∵∠ATB=∠ATB，∠EOT=∠ABT=90°，
∴△OET∽△BAT，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴△OET與△ABT均為等腰直角三角形，
于是在△ABT中，AB=4，則AT=

AB2+BT2

=

42+42

=4

2

，
∴BE=OE=OT=4

2

-4；

（3）在BC上取點H，使BH=BA=4，過點H作AB的平行線，
交EF、AD于點K、L，（如圖）
∴四邊形ABHL為正方形
由（1）可知KL=KO，
令HK=a，則在△HEK中，EH=4-x，EK=x+4-a
∴（4-x）²+a²=（x+4-a）²，
化簡得：a=

8x

4+x

，
又HL∥AB，
∴

y

a

=

EC

EH

=

5-x

4-x

，即y=

40x-8x2

16-x2

，
∴函數(shù)關(guān)系式為y=

40x-8x2

16-x2

，
BE的最小值應(yīng)大于0，最大值即當(dāng)點F和點D重合，根據(jù)勾股定理求得OF=3．
設(shè)BE=OE=x，在直角三角形CEF中，根據(jù)勾股定理，得
（3+x）²=（5-x）²+16，
解得x=2．
所以定義域，即x的取值范圍為0＜x≤2．

點評：此題比較復(fù)雜，考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、然后把求函數(shù)關(guān)系式放到這個復(fù)雜的幾何圖形中，所以綜合性很強，能力要求比較高，對于以上所有知識必須很熟練才能好的解決問題．