Question

【題目】如果一個(gè)四位自然數(shù)的百位數(shù)字大于或等于十位數(shù)字，且千位數(shù)字等于百位數(shù)字與十位數(shù)字的和，個(gè)位數(shù)字等于百位與十位數(shù)字的差，則我們稱這個(gè)四位數(shù)為親密數(shù)，例如：自然數(shù)4312，其中3＞1，4=3+1，2=3-1，所以4312是親密數(shù)；
（1）最小的親密數(shù)是 ，最大的親密數(shù)是 ；
（2）若把一個(gè)親密數(shù)的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換，得到的新數(shù)叫做這個(gè)親密數(shù)的友誼數(shù)，請證明任意一個(gè)親密數(shù)和它的友誼數(shù)的差都能被原親密數(shù)的十位數(shù)字整除；
（3）若一個(gè)親密數(shù)的后三位數(shù)字所表示的數(shù)與千位數(shù)字所表示的數(shù)的7倍之差能被13整除，請求出這個(gè)親密數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）1101，9909；（2）證明見解析；（3）親密數(shù)為5321或9817．

【解析】

（1）設(shè)親密數(shù)為 ，求最小的親密數(shù)時(shí)，先確定a=1，再根據(jù)a=b+c，d=b﹣c確定b、c、d的值，從而可得最小的親密數(shù)；求最大的親密數(shù)時(shí)，先確定a=9，同理可得最大的親密數(shù)；

（2）分別表示親密數(shù)和友誼數(shù)：親密數(shù)：=1000a+100b+10c+d，友誼數(shù)： =1000d+100b+10c+a，相減后可得結(jié)論；

（3）根據(jù)題意表示 ﹣7a=100b+10c+d﹣7a，化為關(guān)于b和c的代數(shù)式，根據(jù)b是1至9的自然數(shù)對：94b+2c進(jìn)行分析，=7b+為整數(shù)，即3b+2c為13的倍數(shù)，分情況討論3b+2c的值可得結(jié)論．

設(shè)親密數(shù)為，且b≥c，a=b+c，d=b-c，a、b、c、d都是自然數(shù)，
（1）當(dāng)a為最小時(shí)，則a=1，
∴b+c=a=1，
∵b≥c，
∴b=1，c=0，
∴d=b-c=1-0=1，
∴最小的親密數(shù)是1101，
當(dāng)a最大時(shí)，即a=9，
∴b+c=a=9，
∵b≥c，
當(dāng)最大時(shí)，即b最大為9，
∴c=0，
∴d=b-c=9-0=9，
∴最大的親密數(shù)是9909，
故答案為：1101，9909；
（2）證明：親密數(shù)：=1000a+100b+10c+d①，
友誼數(shù)：=1000d+100b+10c+a②，
∵a=b+c，d=b-c，
∴a-d=（b+c）-（b-c）=2c＞0，
∴a＞d，a=2c+d，
①-②得：999a-999d=999（a-d）=999（2c+d-d）=1998c，
∵原親密數(shù)的十位數(shù)字為c，
∴任意一個(gè)親密數(shù)和它的友誼數(shù)的差都能被原親密數(shù)的十位數(shù)字整除；
（3）=100b+10c+d，
∵a=b+c，d=b-c，
∴-7a=100b+10c+d-7a=100b+10c+b-c-7（b+c）=94b+2c，
由題意得：為整數(shù)，
即3b+2c為13的倍數(shù)，
∵0≤b≤9，0≤c≤9，b、c為整數(shù)，且1≤b+c≤9，
∴2≤3b+2c≤27，
∴3b+2c=13或26，
①當(dāng)3b+2c=13時(shí)（b≥c），
得，
∴親密數(shù)為5321；
②若3b+2c=26（b≥c），
則，
∴親密數(shù)為9817，
綜上所述，親密數(shù)為5321或9817．