Question

已知在同一直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x-3k+6與y軸交于點(diǎn)P，M是拋物線C：y=x²-2 （k+2）x+8k的頂點(diǎn)．
（1）求證：當(dāng)k≠2時(shí)，拋物線C與x軸必定交于兩點(diǎn)；
（2）A、B是拋物線c與x軸的兩交點(diǎn)，A、B在y軸兩側(cè)，且A在B的左邊，判斷：直線l能經(jīng)過點(diǎn)B嗎？（需寫出判斷的過程）
（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)k，使△ABP和△ABM的面積相等？如果存在，請求出此時(shí)拋物線C的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）列出拋物線的△，用配方法整理得出△＞0即可；
（2）解方程x²-2 （k+2）x+8k=0，得拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，2k，因?yàn)锳、B在y軸兩側(cè)，且A在B的左邊，可知
A（2k，0），B（4，0），將B代入y=x-3k+6中得k=，這與A（2k，0）在y軸左邊矛盾，故直線l不可能經(jīng)過點(diǎn)B；
（3）將拋物線寫成頂點(diǎn)式為y=[x-（k+2）]²-（k-2）²，作MH⊥x軸于H，則MH=（k-2）²，已知OP=-3k+6，當(dāng)S_△ABP=S_△ABM時(shí)，MH=OP，列方程求k即可．
解答：（1）證明：在拋物線C中，
△=4（k+2）²-32k
=4k²-16k+16
=4（k-2）²．
∵當(dāng)k≠2時(shí)，4（k-2）²＞0，
∴方程x²-2（k+2）x+8k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
∴當(dāng)k≠2時(shí)，拋物線C與x軸必定交于兩點(diǎn)；

（2）解：方程x²-2（k+2）x+8k=0，
得x₁=4，x₂=2k，
∵點(diǎn)A、B在y軸兩側(cè)，且A在B的左邊，
∴k＜0，點(diǎn)B（4，0），
把點(diǎn)B（4，0）代入y=x-3k+6，
得k=＞0，與“k＜0”不符，
∴直線l不可能經(jīng)過點(diǎn)B．

（3）存在．
∵y=x²-2（k+2）x+8k
=[x-（k+2）]²-（k-2）²，
作MH⊥x軸于H，則MH=（k-2）²，
∵k＜0，∴-3k+6＞0，
∴OP=-3k+6，
由S_△ABP=S_△ABM，得-3k+6=（k-2）²，
解得k₁=-1，k₂=2（舍去），
∴存在實(shí)數(shù)k=-1，使得S_△ABP=S_△ABM，
此時(shí)，拋物線C的解析式是y=x²-2x-8．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．