Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠B=60°，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC方向，在射線BC上運(yùn)動．在點(diǎn)M運(yùn)動的過程中，連結(jié)AM，并以AM為邊在射線BC上方，作等邊△AMN，連結(jié)CN．

（1）當(dāng)∠BAM=　 　°時(shí)，AB=2BM；

（2）請?zhí)砑右粋�(gè)條件：　 　，使得△ABC為等邊三角形；

①如圖1，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求證：BM=CN；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到線段BC之外時(shí)，其它條件不變，①中結(jié)論BM=CN還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）AB=AC；①見解析；②成立

【解析】試題分析：（1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）利用等邊三角形的判定解答；

①利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；

②利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可．

試題解析：（1）當(dāng)∠BAM=30°時(shí)，

∴∠AMB=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴AB=2BM；

故答案為：30；

（2）添加一個(gè)條件AB=AC，可得△ABC為等邊三角形；

故答案為：AB=AC；

①∵△ABC與△AMN是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC，

即∠BAM=∠CAN，

在△BAM與△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴BM=CN；

②成立，理由如下；

∵△ABC與△AMN是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，

即∠BAM=∠CAN，

在△BAM與△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴BM=CN．