Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E．

（1）求證：ED是⊙O的切線；

（2）若ED，AB的延長(zhǎng)線相交于F，且AE=5，EF=12，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BF=.

【解析】試題分析：（1）連接OD，推出∠ODA=∠OAD=∠EAD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理求得AF=13，設(shè)⊙O的半徑為r，則有OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，通過(guò)證明△OFD∽△AFE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)而求得r的值即可得..

試題解析：（1）如圖，∵DE⊥AC，

∴∠AEF=90°

連接OD，

∴OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠DAC=∠DAB，

∴∠DAE=∠ODA，

∴OD∥AE，

∴∠ODF=∠AEF=90°，

∴OD⊥EF，

∵點(diǎn)D在⊙O上，

∴ED是⊙O的切線；

（2）在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得，AF==13，

設(shè)⊙O的半徑為r，

∴OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，

由（1）知，OD∥AE，

∴△OFD∽△AFE，

∴，

∴，

∴r=，

∴BF=13﹣r=.