Question

如圖1，點E在直線BH、DC之間，點A為BH上一點，且AE⊥CE，∠DCE-∠HAE=90°．
（1）求證：BH∥CD．
（2）如圖2：直線AF交DC于F，AM平分∠EAF，AN平分∠BAE．試探究∠MAN，∠AFG的數量關系．

Answer 1

分析：（1）延長AE交DC于F，根據AE⊥CE垂直可得∠CEF=90°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠DCE-∠AFD=∠CEF=90°，從而得到∠HAE=∠AFD，再根據內錯角相等，兩直線平行即可得證；
（2）根據角平分線的定義表示出∠EAM、∠EAN，然后求出∠MAN，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠BAF=∠AFG，從而得解．

解答：（1）證明：如圖，延長AE交DC于F，
∵AE⊥CE，
∴∠CEF=90°，
根據三角形的外角性質，∠DCE-∠AFD=∠CEF=90°，
又∵∠DCE-∠HAE=90°，
∴∠HAE=∠AFD，
∴BH∥CD；

（2）解：∵AM平分∠EAF，AN平分∠BAE，
∴∠EAM=

1

2

∠EAF，∠EAN=

1

2

∠BAE=

1

2

（∠EAF+∠BAF），
∴∠MAN=∠EAN-∠EAM=

1

2

（∠EAF+∠BAF）-

1

2

∠EAF=

1

2

∠BAF，
∵BH∥CD，
∴∠BAF=∠AFG，
∴∠MAN=

1

2

∠AFG．

點評：本題考查了平行線的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，熟記性質并作出輔助線是解題的關鍵．