Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在軸的正半軸上，頂點(diǎn)在軸的正半軸上，是邊上的一點(diǎn)，，.反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)，.

(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式，

(2)動(dòng)點(diǎn)在矩形內(nèi)，且滿足.

①若點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上，求點(diǎn)的坐標(biāo)，

②若點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ；②

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m6，n），利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出m的值，結(jié)合OC：CD＝5：3可求出n值，再將m，n的值代入k＝mn中即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）由三角形的面積公式、矩形的面積公式結(jié)合S△PAO＝S四邊形OABC可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．

①若點(diǎn)P在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)及點(diǎn)P的縱坐標(biāo)可得出AP≠BP，進(jìn)而可得出AB不能為對(duì)角線，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，4），分AP＝AB和BP＝AB兩種情況考慮：（i）當(dāng)AB＝AP時(shí)，利用勾股定理可求出t值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P1的坐標(biāo)，結(jié)合P1Q1的長(zhǎng)可求出點(diǎn)Q1的坐標(biāo)；（ii）當(dāng)BP＝AB時(shí)，利用勾股定理可求出t值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P2的坐標(biāo)，結(jié)合P2Q2的長(zhǎng)可求出點(diǎn)Q2的坐標(biāo)．綜上，此題得解．

解：（1）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m6，n）．

∵點(diǎn)D，E在反比例函數(shù)的圖象上，

∴k＝mn＝（m6）n，

∴m＝9．

∵OC：CD＝5：3，

∴n：（m6）＝5：3，

∴n＝5，

∴k＝mn＝×9×5＝15，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝；

（2）∵S△PAO＝S四邊形OABC，

∴OAyP＝OAOC，

∴yP＝OC＝4．

①當(dāng)y＝4時(shí)，＝4，

解得：x＝，

∴若點(diǎn)P在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）．

②由（1）可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，5），

∵yP＝4，yA＋yB＝5，

∴y P≠，

∴AP≠BP，

∴AB不能為對(duì)角線．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，4）．

分AP＝AB和BP＝AB兩種情況考慮（如圖所示）：

（i）當(dāng)AB＝AP時(shí)，（9t）2＋（40）2＝52，

解得：t1＝6，t2＝12（舍去），

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（6，4），

又∵P1Q1＝AB＝5，

∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（6，9）；

（ii）當(dāng)BP＝AB時(shí)，（9t）2＋（51）2＝52，

解得：t3＝92，t4＝9＋2（舍去），

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（92，4）．

又∵P2Q2＝AB＝5，

∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（92，1）．

綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，9）或（92，1）．