Question

【題目】已知：如圖，AB為的直徑，弦垂足為E，點(diǎn)H為弧AC上一點(diǎn)．連接DH交AB于點(diǎn)F，連接HA、BD，點(diǎn)G為DH上一點(diǎn)，連接AG，．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，連接HC，若，求證：；

（3）如圖3，連接交于點(diǎn)K，若點(diǎn)F為DG的中點(diǎn)，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，進(jìn)行角度計(jì)算，得，進(jìn)而得到，即可證明；

（2）連接AC、AD、CF，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，進(jìn)行角度計(jì)算，得，進(jìn)而得到，再根據(jù)已知，得到；

（3）在上截取，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，通過(guò)證明≌得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)F為DG中點(diǎn)，得到，通過(guò)勾股定理逆用，證明，再通過(guò)解得，解△CDH得，求得OF、OH，逆用勾股定理證明，易求，，最后求得的值．

（1）證明：如圖，設(shè)為，

∵，

∴，

∵，

∴

∴，

∵與為同對(duì)弧所對(duì)的圓周角，

∴，

∴，

∴

∴

（2）如圖，連接AC、AD、CF，

∵AB為直徑，，

∴，

∴垂直平分，

∴，，

∴，，

∴，即，

設(shè)，，

∵與為同對(duì)弧AH所對(duì)的圓周角，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵AB為直徑，

∴，

∴，

∵與為同對(duì)弧BH所對(duì)的圓周角，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）如圖，在上截取，

∵與同對(duì)弧AH所對(duì)的圓周角，

∴，

∵AB為直徑，且

∴=，

∴，

∴≌，

∴，

∵，

∴，

∴，

設(shè)，則，，

∵F為DG中點(diǎn)，

∴，

∴，FD=CF=3k，

在中，由勾股定理逆定理得，

過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，

由△HCF面積，可求CM=，

∴，

∴，

解得，

易求，，

由勾股定理逆定理得，

易求，，

∴．