Question

【題目】在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點(diǎn)，一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB，BC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N．

（1）觀察圖1，直接寫(xiě)出∠AEM與∠BNE的關(guān)系是 ；(不用證明)

（2）如圖1，當(dāng)M、N都分別在AB、BC上時(shí)，可探究出BN與AM的關(guān)系為： ；(不用證明)

（3）如圖2，當(dāng)M、N都分別在AB、BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）中BN與AM的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不成立，寫(xiě)出你認(rèn)為成立的結(jié)論，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）互余（或∠AEM+∠BNE=90 等）;（2）①BN⊥AM ；② BN-AM=2;（3）成立,理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由矩形的對(duì)邊平行，得∠AEM+∠BNE=90 ；

（2）作輔助線EF⊥BC于點(diǎn)F，然后證明Rt△AME≌Rt△FNE，從而得到結(jié)論；

（3）成立.

試題解析：（1）：互余（或∠AEM+∠BNE=90 等）

（2）①BN⊥AM ；② BN-AM=2

如圖，

在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點(diǎn)，

作EF⊥BC于點(diǎn)F，則有AB=AE=EF=FC，

∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，

∴∠AEM=∠FEN，

在Rt△AME和Rt△FNE中，

∴Rt△AME≌Rt△FNE，

∴BM=CN，

∵AD=2AB=4，

∴BC=4，AB=2

∴BN-AM=BC-CN-AM=BC-BM-AM=BC-（BM+AM）=BC-AB=4-2=2

（3）當(dāng)M、N都分別在AB、BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）中BN與AM的關(guān)系式仍然成立.

如圖，過(guò)E作EF⊥BC于F

∵ 矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點(diǎn)

∴AE=EF=AB=BF=2

∵ ∠AEM+∠MEF=90 ，∠NEF+∠MEF=90

∴∠AEM=∠NEF

∴ Rt△AEM≌ Rt△FEN

∴AM=FN

∴BN-AM= BN-FN=BF= 2