Question

（2013•金山區(qū)二模）如圖，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，AB于點(diǎn)E，若BC=8，△BCE的周長(zhǎng)為
21，cos∠B=

5

13

．
求：（1）AB的長(zhǎng)；
   （2）AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由DE為AC的垂直平分線，得到AE=CE，三角形BEC的周長(zhǎng)為三邊之和，等量代換得到結(jié)果為AB+BC，由周長(zhǎng)減去BC即可求出AB的長(zhǎng)；
（2）過A作AF垂直于BC，在直角三角形ABF中，由AB與cosB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出BF的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AF的長(zhǎng)，由BC-BF求出FC的長(zhǎng)，在直角三角形AFC中，利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵DE是AC的垂直平分線，
∴AE=CE，
∵△BEC周長(zhǎng)為BE+BC+EC=BE+AE+BC=AB+BC=21，BC=8，
∴AB=21-8=13；
（2）過A作AF⊥BC，
在Rt△ABF中，AB=13，cosB=

5

13

，
∴BF=ABcosB=5，F(xiàn)C=BC-BF=8-5=3，
∴根據(jù)勾股定理得：AF=

AB2-BF2

=12，
在Rt△AFC中，AF=12，F(xiàn)C=3，
根據(jù)勾股定理得：AC=

AF2+FC2

=

153

=3

17

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解直角三角形題型，涉及的知識(shí)有：勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，以及線段垂直平分線定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．