Question

已知二次函數(shù)y＝a(x－m)²－a(x－m)(a，m為常數(shù)，且a≠0)．

(1)求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；

(2)設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點D.

①當(dāng)△ABC的面積等于1時，求a的值；

②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時，求m的值．

Answer 1

 (1)證明：y＝a(x－m)²－a(x－m)＝ax²－(2am＋a)x＋am²＋am.

當(dāng)a≠0時，Δ＝a²>0.

則方程ax²－(2am＋a)x＋am²＋am＝0有兩個不相等的實數(shù)根．

所以，不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點．

(2)解：① y＝a－，

所以點C的坐標(biāo)為.

當(dāng)y＝0時，a(x－m)²－a(x－m)＝0.

解得x₁＝m，x₂＝m＋1.所以AB＝1.

當(dāng)△ABC的面積等于1時，×1×＝1.

所以×1×＝1，或×1×＝1.

所以a＝－8，或a＝8.

②當(dāng)x＝0時，y＝am²＋am，

所以點D的坐標(biāo)為(0, am²＋am)．

當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時，

×1×＝×1×| am²＋am |.

所以m＝－，或m＝，或m＝.