Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)稱軸為直線x=1的拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△PCD是以CD為底的等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出A、B坐標(biāo)，利用待定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)D（1，0），
（2）由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)D（1，0），可知滿足條件的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，解方程-x²+2x+3=2即可得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，由此即可解決問題．

解答 解：（1）由題意可求點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．
將點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（-1，0）代入y=-x²+bx+c，
得 $\left\{\begin{array}{l}0=-9+3b+c\\ 0=-1-b+c.\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=3.\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3．       

（2）如圖，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)D（1，0），
∴滿足條件的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2．
∴-x²+2x+3=2．
解得 ${x_1}=1+\sqrt{2}，{x_2}=1-\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（1+\sqrt{2}，2）$或$（1-\sqrt{2}，2）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．