Question

圖（1）是面積都為S的正n邊形（n≥3），圖（2）是由圖（1）中的每個(gè)正多邊形分別對(duì)應(yīng)“擴(kuò)展”而來(lái)．如：圖（2）中的a是由圖（1）中的正三角形的每邊長(zhǎng)三等分，以居中的一條線段向外作正三角形，并把居中線段去掉而得到；圖（2）中的b是由圖（1）中的正四邊形的每邊長(zhǎng)三等分，以居中的一條線段向外作正四邊形，并把居中線段去掉而得到…，以此類推，當(dāng)圖（1）中的正多邊形是正十邊形時(shí)，圖（2）中所有“擴(kuò)展”后的圖形面積和為248．則S的值是

 

．

Answer 1

分析：分析可知，每個(gè)“擴(kuò)展”的正多邊形都與原多邊形相似，其相似比為

1

3

，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把8個(gè)原多邊形面積相加，再把每個(gè)“擴(kuò)展”的正多邊形面積全部相加，列出方程求解．

解答：解：因?yàn)槊總�(gè)“擴(kuò)展”的正多邊形都與原多邊形相似，其相似比為

1

3

，
根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，列方程
8S+3×（

1

3

）²S+4×（

1

3

）²S+5×（

1

3

）²S+…+10×（

1

3

）²S=248
即：8S+

3+4+5+…+10

9

S=248
124S=9×248，
解得S=18．
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方．自然數(shù)求和的問(wèn)題．