Question

己知，如圖在直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC所在直線的解析式為y= -x+1 。
（1）求線段AC的長和∠ACO的度數。
（2）動點P從點C開始在線段CO上以每秒個單位長度的速度向點O移動，動點Q從點O開始在線段OA上以每秒1個單位長度的速度向點A移動，（P、Q兩點同時開始移動）設P、Q移動的時間為t秒。
①設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并求出當t為何值時，S有最小值。
②是否存在這樣的時刻t，使得△OPQ與△BCP相似，并說明理由？
（3）在坐標平面內存在這樣的點M，使得△MAC 為等腰三角形且底角為30°，寫出所有符合要求的點M的坐標。

Answer 1

解：（1）令得  ∴A點坐標為（0，1）
令得 
∴   C點坐標為（，0）
∴
在中， ∵  ∴
（2）P、Q兩點同時開始移動t秒時
① ∵ t
∴
t×1
∵
∴
∴當時，最大為
②ⅰ：假設存在∽  ∴  即  ∴
ⅱ：∽  ∴  即   ∴，
（3），，，，，