Question

一開口向上的拋物線與x軸交于A（，0），B（m＋2，0）兩點(diǎn)，記拋物線頂點(diǎn)為C，且AC⊥BC．

（1）若m為常數(shù)，求拋物線的解析式；

（2）若m為小于0的常數(shù)，那么（1）中的拋物線經(jīng)過怎么樣的平移可以使頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)？

（3）設(shè)拋物線交y軸正半軸于D點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得△BCD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為： y＝a（x－m＋2）（x－m－2）＝a（x－m）²－4a．

∵AC⊥BC，由拋物線的對稱性可知：△ACB為等腰直角三角形，又AB＝4，

∴C（m，）代入得a＝．∴解析式為：y＝（x－m）²．

（亦可求C點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)式）

（2）∵m為小于零的常數(shù)，∴只需將拋物線向右平移－m個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，可以使拋物線y＝（x－m）²頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．

（3）由（1）得D（0，m²），設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形．

∵△BOD為直角三角形，∴只能OD＝OB．

∴m²－2＝|m＋2|，當(dāng)m＋2＞0時(shí)，解得m＝4或m＝（舍）．

當(dāng)m＋2＜0時(shí)，解得m＝0（舍）或m＝（舍）；

當(dāng)m＋2＝0時(shí)，即m＝時(shí)，B．O．D三點(diǎn)重合（不合題意，舍）

綜上所述：存在實(shí)數(shù)m＝4，使得△BOD為等腰三角形．