Question

我們知道，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線的解析式可以是y=ax²+bx（a≠0）
（1）對于這樣的拋物線：
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時，a=______；
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時，a與m之間的關(guān)系式是______
（2）繼續(xù)探究，如果b≠0，且過原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線y=kx（k≠0）上，請用含k的代數(shù)式表示b；
（3）現(xiàn)有一組過原點(diǎn)的拋物線，頂點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n在直線y=x上，橫坐標(biāo)依次為1，2，…，n（為正整數(shù)，且n≤12），分別過每個頂點(diǎn)作x軸的垂線，垂足記為B₁，B₂，…，B_n，以線段A_nB_n為邊向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若這組拋物線中有一條經(jīng)過D_n，求所有滿足條件的正方形邊長．

Answer 1

解：（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
∴，
解得，，
即當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時，a=-1；
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時，，
解得，
則a與m之間的關(guān)系式是：a=-或am+1=0．
故答案是：-1；a=-或am+1=0．

（2）∵a≠0，
∴y=ax²+bx=a（x+）²-，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-，-）．
又∵該頂點(diǎn)在直線y=kx（k≠0）上，
∴k（-）=-．
∵b≠0，
∴b=2k；

（3）∵頂點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n在直線y=x上，
∴可設(shè)A_n（n，n），點(diǎn)D_n所在的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t）．
由（1）（2）可得，點(diǎn)D_n所在的拋物線解析式為y=-x²+2x．
∵四邊形A_nB_nC_nD_n是正方形，
∴點(diǎn)D_n的坐標(biāo)是（2n，n），
∴-（2n）²+2•2n=n，
∴4n=3t．
∵t、n是正整數(shù)，且t≤12，n≤12，
∴n=3，6或9．
∴滿足條件的正方形邊長是3，6或9．
分析：（1）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（-，）填空；
（2）首先，利用配方法得到拋物線的解析式y(tǒng)=a（x+）²-，則易求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-，-）；
然后，把該頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程y=kx（k≠0），即可求得用含k的代數(shù)式表示b；
（3）根據(jù)題意可設(shè)可設(shè)A_n（n，n），點(diǎn)D_n所在的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t）．由（1）（2）可得，點(diǎn)D_n所在的拋物線解析式為y=-x²+2x．所以由正方形的性質(zhì)推知點(diǎn)D_n的坐標(biāo)是（2n，n），則把點(diǎn)D_n的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求得4n=3t．然后由n、t的取值范圍來求點(diǎn)A_n的坐標(biāo)，即該正方形的邊長．
點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式以及正方形的性質(zhì)．解答（3）題時，要注意n的取值范圍．