Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，點是對角線的中點，點是上一點，且，連接并延長交于點，過點作的垂線，垂足為，交于點．

（1）求證：；

（2）若，解答下列問題：

①求證：；

②當時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②．

【解析】

（1）證明≌可得，再結(jié)合平行四邊形對邊相等即可得到結(jié)論；

（2）①過A作AM⊥BC于M，交BG于K，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠BAG=∠BGA，由此可得AB=BG；②過G作GN⊥BC于N，證明≌，可求得BM，再根據(jù)等腰三角形三線合一即可求得BE，從而求得DF．

（1）∵四邊形是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

,

∵點是對角線的中點，

∴AO=CO，

在和中，

，

∴≌，

,

．

（2）①過A作AM⊥BC于M，交BG于K，

則∠AMB=∠AME，
∵∠ACB=45°，
∴∠MAC=45°，
∵AB=AE，
，
∵AE⊥BG，
∴∠AHK=90°=∠BMK，又∠AKH=∠BKM，
∴∠MAE=∠CBG，
設∠BAM=∠MAE=∠CBG=α，則∠BAG=45°+α，∠BGA=∠GCB+∠GBC=45°+α，
∴∠BAG=∠BGA，

∴AB=BG；

②過G作GN⊥BC于N，

∴∠BNG=∠GNC=90°，

∵∠ACB=45°，
∴∠NGC =45°，

∴NG=NC，

在和中，

,

∴≌,

,

在Rt△NGC中，

根據(jù)勾股定理，

,

．