Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，1）、B（3，5），要在坐標(biāo)軸上找一點，使得△PAB的周長最小，則點的坐標(biāo)為（ ）

A.B.C.或D.或

Answer 1

【答案】B

【解析】

由題意可知：△PAB的周長最小就是PA＋PB最小，根據(jù)P點在坐標(biāo)軸上分類討論：①若P在y軸上，作A關(guān)于y軸的對稱點，連接，交y軸于點P，根據(jù)兩點之間，線段最短即可得此時P點即為所求，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而求出P點坐標(biāo)，同時求出此時的長度；②若P在x軸上，原理同上，求出此時P點坐標(biāo)，并同時求出此時的長度，然后比較①②中兩個的長度的大小，即可判斷哪種情況△PAB的周長最小，從而判斷出P點坐標(biāo).

解：∵AB的長度固定

∴△PAB的周長最小就是PA＋PB最小

①若P在y軸上，如下圖所示，作A關(guān)于y軸的對稱點，連接，交y軸于點P

根據(jù)對稱的性質(zhì)：PA＋PB=，根據(jù)兩點之間，線段最短，可知此時PA＋PB最小，且最小值即為的長度，

∵A點坐標(biāo)為（1，1）

∴點的坐標(biāo)為（﹣1,1）

設(shè)直線的解析式為y=kx＋b，將的坐標(biāo)代入得：

解得：

∴直線的解析式為y=x＋2

當(dāng)x=0時，y=2

∴此時P點坐標(biāo)為（0,2）

②若P在x軸上，如下圖所示，作A關(guān)于x軸的對稱點，連接，交x軸于點P

根據(jù)對稱的性質(zhì)：PA＋PB=，根據(jù)兩點之間，線段最短，可知此時PA＋PB最小，且最小值即為的長度，

∵A點坐標(biāo)為（1，1）

∴點的坐標(biāo)為（1,﹣1）

設(shè)直線的解析式為y=kx＋b，將的坐標(biāo)代入得：

解得：

∴直線的解析式為y=3x－4

當(dāng)y=0時，x=

∴此時P點坐標(biāo)為（,0）

∵

∴當(dāng)P在y軸上時，的長最小

∴P點坐標(biāo)為（0,2）

故選B.