Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖①，在拋物線的對(duì)稱軸上尋找一點(diǎn)M，使得△ACM的周長最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）如圖②，用寬為4個(gè)單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P,Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接DP,DQ．若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，求△DPQ面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】（1）；（2）（1，2）；（3）的面積最大值為8，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）本題是典型的“將軍飲馬”問題，由拋物線的對(duì)稱性知：點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故只需連接BC交直線x=1于點(diǎn)M，則M就是使得△ACM周長最小的點(diǎn)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，而拋物線的對(duì)稱軸易求，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可得；

（3）根據(jù)題意易求出點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的解析式，過點(diǎn)作DE∥y軸交直線于點(diǎn)，如圖④，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，則DE的長可用含x的代數(shù)式表示，再根據(jù)可得關(guān)于x的關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果．

解：（1）將、代入，得：

，

解得：，

拋物線的表達(dá)式為；

（2）∵拋物線的解析式是，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知：點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接BC交直線x=1于點(diǎn)M，則M就是使得△ACM周長最小的點(diǎn)，如圖③，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，

∵點(diǎn)B（3，0）在直線BC上，

∴0=3k+3，

解得：k=﹣1，

即直線BC的解析式為y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣1+3=2，

故BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），

∴△ACM周長最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）；

（3）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

設(shè)直線的表達(dá)式為，

將，、，代入，得：，

解得：，

直線的表達(dá)式為．

如圖④，過點(diǎn)作DE∥y軸交直線于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

．

，

當(dāng)時(shí)，的面積取最大值，最大值為8，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，．