Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C（0，3）．且點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點B的坐標(biāo)為（3，0），點P是拋物線上第一象限內(nèi)的一個點．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）連PO、PB，如果把△POB沿OB翻轉(zhuǎn)，所得四邊形POP′B恰為菱形，那么在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QAB與△POB相似？若存在求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）若（2）中點Q存在，指出△QAB與△POB是否位似？若位似，請直接寫出其位似中心的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在拋物線y=ax2+bx+c上，

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）解：在拋物線的對稱軸上存在點Q，使△QAB與△POB相似，如圖所示．

∵四邊形POP′B為菱形，

∴PO=PB，

∴∠POB=∠PBO．

∵點Q在拋物線的對稱軸上，

∴QA=QB，

∴∠QAB=∠QBA．

由△QAB與△POB相似可得∠PBO=∠QBA，

∴點Q、P、B共線．

∵PO=PB，

∴點P在OB的垂直平分線上，

∴xP= ，

此時yP=﹣（ ）2+2× +3= ，

點P的坐標(biāo)為（ ， ）．

設(shè)直線PB的解析式為y=mx+n，

則有 ，

解得 ．

∴直線PB的解析式為y=﹣ x+ ．

∵拋物線的對稱軸為x=﹣ =1，

∴xQ=1，yQ=﹣ ×1+ =5，

∴點Q的坐標(biāo)為（1，5）

根據(jù)對稱性點Q坐標(biāo)還可以為（1．﹣5）

（3）解：△QAB與△POB位似，位似中心為點B，點B的坐標(biāo)為（3，0）．

【解析】（1）點A、B、C的坐標(biāo)已知，只需運用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；（2）由四邊形POP′B為菱形可得PO=PB，從而有∠POB=∠PBO．由點Q在拋物線的對稱軸上可得QA=QB，從而有∠QAB=∠QBA．由△QAB與△POB相似可得∠PBO=∠QBA，從而可得點Q、P、B共線．由PO=PB可得點P在OB的垂直平分線上，從而可得xP= ，代入拋物線即可求出點P的坐標(biāo)，設(shè)直線PB的解析式為y=mx+n，運用待定系數(shù)法就可求出直線PB的解析式．由拋物線的對稱軸方程可得到點Q的橫坐標(biāo)，代入直線PB的解析式，即可得到點Q的坐標(biāo)；（3）觀察圖象，易知△QAB與△POB位似，位似中心即為點B，由此可得到位似中心的坐標(biāo)．
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．