Question

已知點P在線段AB上，點O在線段AB延長線上，以點O為圓心，OP為半徑作圓，點C是圓O上的一點。
（1）如圖，如果AP=2PB，PB=BO，求證：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常數(shù)，且m＞1），BP=1，OP是OA，OB的比例中項，當(dāng)點C在圓O上運動時，求AC：BC的值（結(jié)果用含m的式子表示）；
（3）在（2）的條件下，討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵，
∴AO=2PO，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）設(shè)，則OB=x-1，OA=x+m，
∵OP是OA，OB的比例中項，
∴
得，即，
∴
∵OP是OA，OB的比例中項，即，
∵，
∴，
設(shè)圓O與線段AB的延長線相交于點Q，當(dāng)點C與點P，點Q不重合時，
∵
∴
∴
∴；
當(dāng)點C與點P或點Q重合時，可得，
當(dāng)點C在圓O上運動時，；
（3）由（2）得，，且，，圓B和圓C的圓心距d=BC，顯然，
∴圓B和圓C的位置關(guān)系只可能相交、內(nèi)切或內(nèi)含，
當(dāng)圓B與圓C相交時，，得，
，
當(dāng)圓B與圓C內(nèi)切時，，得m=2；
當(dāng)圓B與圓C內(nèi)含時，，得m>2。