(2004•內(nèi)江)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(k,0)(k<0)、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸正半軸交于C點(diǎn),且tan∠CAO=3.
(1)求此拋物線的解析式(系數(shù)中可含字母k);
(2)設(shè)點(diǎn)D(0,t)在x軸下方,點(diǎn)E在拋物線上,若四邊形ADEC為平行四邊形,試求t與k的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若題(2)中的平行四邊形ADEC為矩形,試求出D的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)根據(jù)A的坐標(biāo),可得出OA的長(zhǎng),根據(jù)∠CAO的正切值可求出OC的長(zhǎng),也就能求出C點(diǎn)的坐標(biāo).然后根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)要想使四邊形ADEC為平行四邊形,AC與DE必須平行且相等.根據(jù)∠CAO的正切值可得出直線AC的斜率.也就得出了直線DE的斜率,聯(lián)立直線DE和拋物線的解析式求出E點(diǎn)的坐標(biāo).由于AC=DE,可用E點(diǎn)的坐標(biāo)求出DE的長(zhǎng),進(jìn)而得出t,k的函數(shù)關(guān)系式;
(3)由于四邊形ADEC為矩形,那么AD⊥AC,即直線AC與直線AD的斜率的積為-1.由此可得出t與k的函數(shù)關(guān)系式.聯(lián)立(2)的關(guān)系式即可得出關(guān)于t,k的方程.可求出此時(shí)t,k的值.
解答:解:(1)∵tan∠CAO=3,A(k,0)
(k<0),又C點(diǎn)在y軸正半軸上
∴C(0,-3k)
∵A(k,o),B(3,0),C(0,-3k)都在拋物線上

∴解得:
∴拋物線為:y=-x2+(k+3)x-3k;

(2)∵DE∥AC,tan∠CAO=3
∴直線DE的斜率為:3,又過(guò)點(diǎn)D(0,t)
∴直線DE為:y=3x+t
∴聯(lián)解
可得交點(diǎn)為E(+t)
又∵要使ADEC為平行四邊形
∴DE=AC
∴(2+(+t)2=(k)2
∵k<0
∴t=-2k2-3k(k<0);

(3)∵要使平行四邊形ADEC為矩形
∴∠ADE=90°.
∴kAC•kAD=-1.
即:3×=-1,
∴k=3t.
又∵t=-2k2-3k
∴由
得t=-或t=0(舍)
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-).
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三角形、平行四邊形的判定、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),(2)、(3)中利用好一次函數(shù)平行和垂直時(shí)斜率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.要牢記一次函數(shù)的斜率公式:k=
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(1)如果A′在△ABC的內(nèi)部,求出以x為自變量的函數(shù)y的解析式,并指出自變量x的取值范圍;
(2)是否存在直線MN,使y的值為△ABC面積的?如果存在,則求出求出對(duì)應(yīng)的x值;如果不存在,則說(shuō)明理由.

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