Question

【題目】已知：如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥y軸于點(diǎn)C，且CM＝1，過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D，且DN＝1，已知點(diǎn)P是x軸（除原點(diǎn)O外）上一點(diǎn).

（1）直接寫(xiě)出M、N的坐標(biāo)及k的值；

（2）將線段CP繞點(diǎn)P按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q能否在反比例函數(shù)的圖象上？如果能，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，是否存在反比例函數(shù)圖象（第一象限的一支）上的點(diǎn)S，使得以P、S、M、N四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合題意的點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）存在，S的坐標(biāo)為或.

【解析】

（1）根據(jù)題意可得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入一次函數(shù)計(jì)算可得縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，已知N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入一次函數(shù)可得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得N點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,0），根據(jù)C、P可以計(jì)算出CP所在直線的解析式，進(jìn)而可得PQ所在直線的解析式，就可以表示Q點(diǎn)的坐標(biāo)，在代入反比例函數(shù)，即可求得x,從而可得Q點(diǎn)的坐標(biāo);

（3）根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)，將四邊形其余各點(diǎn)都表示出來(lái)，再代入反比例函數(shù)看是否有解，有解則說(shuō)明此點(diǎn)存在，無(wú)解說(shuō)明不存在，進(jìn)而可得S點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：（1）當(dāng)時(shí)，，.

當(dāng)時(shí)，，解得，

將點(diǎn)代入得，

；

（2）若CP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)Q在雙曲線上，

設(shè)，則，

，即，

，

；

（3）設(shè)，

當(dāng)MN為平行四邊形的一條邊時(shí)，則，

把S點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得.

當(dāng)MN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則，

把S點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，

∴存在，S的坐標(biāo)為或.