Question

【題目】已知，△ABC是等邊三角形，將直角三角板DEF如圖放置，其中∠F＝30°，讓△ABC在直角三角板的邊EF上向右平移（點C與點F重合時停止）．

（1）如圖1，當點B與點E重合時，點A恰好落在直角三角板的斜邊DF上，證明：EF＝2BC．

（2）在△ABC平移過程中，AB，AC分別與三角板斜邊的交點為G、H，如圖2，線段EB＝AH是否始終成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立．理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得∠ACB＝60°，AC＝BC．結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，得∠CAF＝60°30°＝30°，則CF＝AC，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中的證明方法，得到CH＝CF．根據(jù)（1）中的結(jié)論，知EB＋CF＝AC，從而證明結(jié)論．

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，AC＝BC，

∵∠F＝30°，

∴∠CAF＝60°﹣30°＝30°，

∴∠CAF＝∠F，

∴CF＝AC，

∴CF＝AC＝EC，

∴EF＝2BC；

（2）線段EB＝AH始終成立，

理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，AC＝BC，

∵∠F＝30°，

∴∠CHF＝60°﹣30°＝30°，

∴∠CHF＝∠F，

∴CH＝CF，

∵EF＝2BC，

∴EB+CF＝BC，

又∵AH+CH＝AC，AC＝BC，

∴EB＝AH．