Question

（2004•呼和浩特）如圖，PAB為割線且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，則AB的長(zhǎng)為（　�。�

• A．

  10

• B．2

  2

• C．

  6

• D．

  5

Answer 1

分析：延長(zhǎng)PO到E，延長(zhǎng)線與圓O交于點(diǎn)E，連接EB，AC，由半徑OC的長(zhǎng)，得到半徑OE的長(zhǎng)，再由OE+OP得出EP的長(zhǎng)，OP-OC得出CP的長(zhǎng)，由PA=AB，設(shè)出PA=AB=x，則BP=2x，根據(jù)四邊形ACEB為圓O的內(nèi)接四邊形，利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角得到一對(duì)角相等，再由公共角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，可得出三角形ACP與三角形EBP相似，由相似得比例，將各自的長(zhǎng)代入列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AB的長(zhǎng)．

解答：解：延長(zhǎng)PO到E，延長(zhǎng)線與圓O交于點(diǎn)E，連接EB，AC，

∵OC=3，OP=5，
∴OE=OC=3，
∴EP=OE+OP=3+5=8，CP=OP-OC=5-3=2，
設(shè)PA=AB=x，則BP=2x，
∵四邊形ACEB為圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P，
∴△ACP∽△EBP，
∴

CP

BP

=

AP

EP

，即

2

2x

=

x

8

，
解得：x=2

2

或x=-2

2

（舍去），
則AB=2

2

．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想，其中作出如圖所示的輔助線是解本題的關(guān)鍵．