Question

【題目】定義：三角形一個內角的平分線和與另一個內角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內角的遙望角．

（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數式表示∠E．

（2）如圖2，四邊形ABCD內接于⊙O，＝，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點F，連結BF并延長交CD的延長線于點E．求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．

（3）如圖3，在（2）的條件下，連結AE，AF，若AC是⊙O的直徑．

①求∠AED的度數；

②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠E＝α；（2）見解析；（3）①∠AED＝45°；②

【解析】

（1）由角平分線的定義可得出結論；

（2）由圓內接四邊形的性質得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，證得∠ABF=∠FBC，證出∠ACD=∠DCT，則CE是△ABC的外角平分線，可得出結論；

（3）①連接CF，由條件得出∠BFC=∠BAC，則∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，證明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性質得出DE=DA，則∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，則可求出答案；

②過點A作AG⊥BE于點G，過點F作FM⊥CE于點M，證得△EGA∽△ADC，得出，求出，設AD=4x，AC=5x，則有（4x）2+52=（5x）2，解得x=，求出ED，CE的長，求出DM，由等腰直角三角形的性質求出FM，根據三角形的面積公式可得出答案．

解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，

（2）如圖1，延長BC到點T，

∵四邊形FBCD內接于⊙O，

∴∠FDC+∠FBC＝180°，

又∵∠FDE+∠FDC＝180°，

∴∠FDE＝∠FBC，

∵DF平分∠ADE，

∴∠ADF＝∠FDE，

∵∠ADF＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠FBC，

∴BE是∠ABC的平分線，

∵，

∴∠ACD＝∠BFD，

∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，

∴∠DCT＝∠BFD，

∴∠ACD＝∠DCT，

∴CE是△ABC的外角平分線，

∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．

（3）①如圖2，連接CF，

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，

∴∠BAC＝2∠BEC，

∵∠BFC＝∠BAC，

∴∠BFC＝2∠BEC，

∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，

∴∠BEC＝∠FCE，

∵∠FCE＝∠FAD，

∴∠BEC＝∠FAD，

又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，

∴△FDE≌△FDA（AAS），

∴DE＝DA，

∴∠AED＝∠DAE，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC＝90°，

∴∠AED+∠DAE＝90°，

∴∠AED＝∠DAE＝45°，

②如圖3，過點A作AG⊥BE于點G，過點F作FM⊥CE于點M，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC＝90°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，

∵∠AED＝45°，

∴∠AED＝∠FAC，

∵∠FED＝∠FAD，

∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，

∴∠AEG＝∠CAD，

∵∠EGA＝∠ADC＝90°，

∴△EGA∽△ADC，

∴，

∵在Rt△ABG中，AG＝，

在Rt△ADE中，AE＝AD，

∴，

在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，

∴設AD＝4x，AC＝5x，則有（4x）2+52＝（5x）2，

∴x＝，

∴ED＝AD＝，

∴CE＝CD+DE＝，

∵∠BEC＝∠FCE，

∴FC＝FE，

∵FM⊥CE，

∴EM＝CE＝，

∴DM＝DE﹣EM＝，

∵∠FDM＝45°，

∴FM＝DM＝，

∴S△DEF＝DEFM＝．