Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE

（1）請(qǐng)判斷：AF與BE的數(shù)量關(guān)系是 ， 位置關(guān)系是 .
（2）如圖2，若將條件“兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF”變?yōu)椤皟蓚�(gè)等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予說明
（3）若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）問中的結(jié)論都能成立嗎？請(qǐng)直接寫出你的判斷.

Answer 1

【答案】
（1）相等；互相垂直
（2）

解：結(jié)論仍然成立．

理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，

∴在△ADE和△DCF中，，

∴△ADE≌△DCF，

∴∠DAE=∠CDF，

又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

∴在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，

又∵∠DAF+∠BAM=90°，

∴∠ABM+∠BAM=90°，

∴在△ABM中，∠AMB=180°﹣（∠ABM+∠BAM）=90°，

∴BE⊥AF；

（3）

解：第（1）問中的結(jié)論都能成立．

理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，

∴在△ADE和△DCF中，，

∴△ADE≌△DCF，

∴∠DAE=∠CDF，

又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

∴在△ABE和△ADF中，，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，

又∵∠DAF+∠BAM=90°，

∴∠ABM+∠BAM=90°，

∴在△ABM中，∠AMB=180°﹣（∠ABM+∠BAM）=90°，

∴BE⊥AF．

【解析】（1）易證△ADE≌△DCF，即可證明AF與BE的數(shù)量關(guān)系是：AF=BE，位置關(guān)系是：AF⊥BE．
（2）證明△ADE≌△DCF，然后證明△ABE≌△ADF即可證得BE=AF，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明∠AMB=90°，從而求證；
（3）與（2）的解法完全相同．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．