【題目】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線EF分別交AD、AC、BC于點(diǎn)E、O、F，連接CE和AF.

（1）求證：四邊形AECF為菱形；

（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）20

【解析】

（1）根據(jù)ASA推出：△AEO≌△CFO；根據(jù)全等得出OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC即可推出四邊形是菱形；

（2）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AF=CF，設(shè)AF=x，推出AF=CF=x，BF=8－x．在Rt△ABF中，由勾股定理求出x的值，即可得到結(jié)論．

（1）∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO．

在△AEO和△CFO中，∵，∴△AEO≌△CFO（ASA）；∴OE=OF．

又∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．

又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形；

（2）設(shè)AF=x．

∵EF是AC的垂直平分線，∴AF=CF=x，BF=8﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周長(zhǎng)為20．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，交BC的延長(zhǎng)線于D，交AC于點(diǎn)E，F是DE的中點(diǎn)，連接CF．

（1）求證：CF是⊙O的切線．

（2）若∠A＝22.5°，求證：AC＝DC．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．

（1）觀察猜想

圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是　 　，∠MPN的度數(shù)是　 　；

（2）探究證明

把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝8，請(qǐng)直接寫(xiě)出△PMN面積的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知關(guān)于的一元二次方程．

（1）求證：無(wú)論取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若、是原方程的兩根，且，求的值和此時(shí)方程的兩根．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系 XOY中，對(duì)于任意兩點(diǎn) (,)與 (,)的“非常距離”，給出如下定義： 若 ，則點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”為 ；若 ，則點(diǎn) 與點(diǎn)的“非常距離”為 .

例如：點(diǎn) (1,2)，點(diǎn) (3,5)，因?yàn)?/span> ，所以點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”為 ，也就是圖1中線段 Q與線段 Q長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn) Q為垂直于 y軸的直線 Q與垂直于 x軸的直線 Q的交點(diǎn)）。

（1）已知點(diǎn) A(-,0)， B為 y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，①若點(diǎn) A與點(diǎn) B的“非常距離”為2，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的點(diǎn) B的坐標(biāo)；②直接寫(xiě)出點(diǎn) A與點(diǎn) B的“非常距離”的最小值；

（2）已知 C是直線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，①如圖2，點(diǎn) D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn) C與點(diǎn) D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn) C的坐標(biāo)； ②如圖3， E是以原點(diǎn) O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) C與點(diǎn) E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn) E和點(diǎn) C的坐標(biāo)。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)C（3，0），且圖象過(guò)點(diǎn)D（2，3），連結(jié)AD，點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸平行線分別交拋物線和x軸于點(diǎn)E，F．連結(jié)AE，過(guò)點(diǎn)F作FG//AE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若tan∠G＝，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)△AFG是直角三角形時(shí)，求DG的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠用天時(shí)間生產(chǎn)一款新型節(jié)能產(chǎn)品，每天生產(chǎn)的該產(chǎn)品被某網(wǎng)店以每件元的價(jià)格全部訂購(gòu)，在生產(chǎn)過(guò)程中，由于技術(shù)的不斷更新，該產(chǎn)品第天的生產(chǎn)成本（元/件）與（天）之間的關(guān)系如圖所示，第天該產(chǎn)品的生產(chǎn)量（件）與（天）滿足關(guān)系式

第天，該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤(rùn)是　 　元；

設(shè)第天該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤(rùn)為元．

①求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出第幾天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

②在生產(chǎn)該產(chǎn)品的過(guò)程中，當(dāng)天利潤(rùn)不低于元的共有多少天？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）寫(xiě)出拋物線上點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）求的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在11×11的正方形網(wǎng)格中，△TAB的頂點(diǎn)分別為T（1，1），A（2，3），B（4，2）．

（1）以點(diǎn)T（1，1）為位似中心，按比例尺（TA′：TA）3：1，在位似中心的同側(cè)將△TAB放大為△TA′B′，放大后點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，畫(huà)出△TA′B′，并寫(xiě)出點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)；點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B′的坐標(biāo)為

（2）在（1）中，若C（a，b）為線段AB上任一點(diǎn)，寫(xiě)出變化后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為 ．

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