Question

拋物線y=ax²+bx+c的圖象如圖所示，已知該拋物線與x軸交于A、B兩點，頂點為C，
（1）根據(jù)圖象所給信息，求出拋物線的解析式；
（2）求直線BC與y軸交點D的坐標(biāo)；
（3）點P是直線BC上的一點，且△APB與△DOB相似，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象直接得出二次函數(shù)的頂點式以及圖象經(jīng)過點（-1，0），即可得出答案；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式得出與x軸的交點坐標(biāo)，進而得出直線解析式，即可得出答案；
（3）分別對當(dāng)△PAB∽△DOB和當(dāng)△APB∽△DOB，得出答案即可．

解答：解：（1）設(shè)y=a（x-1）²+4（2分）
∵圖象經(jīng)過點（-1，0），
∴4a+4=0，a=-1（1分），
∴y=-x²+2x+3（1分）；

（2）-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，
∴B（3，0）（1分），
設(shè)y=kx+b（k≠0），

3k+b=0 k+b=4

，
解得

k=-2 b=6

，（1分）
∴y=-2x+6，（1分）
∴D（0，6）．（1分）

（3）設(shè)P（k，-2k+6），（k＜3），（1分）
當(dāng)△PAB∽△DOB，k=-1，
∴-2k+6=2+6=8（1分），
∴P（-1，8），（1分）
當(dāng)△APB∽△DOB，過點P作PF⊥x軸，垂足為點F，
∴∠ODB=∠PAB（1分），
∴tan∠PAB=tan∠ODB=

PF

AF

=

-2k+6

1+k

=

3

6

=

1

2

（1分），
∴k=

11

5

，∴P(

11

5

，

8

5

)（1分），
綜上所述，P的坐標(biāo)是（-1，8）或(

11

5

，

8

5

)．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的頂點式求解析式以及直線解析式求法以及相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決二次函數(shù)問題是考查重點同學(xué)們應(yīng)重點掌握．