Question

如圖，O是Rt△ABC斜邊AB的中點，CH⊥AB于H，延長CH至D，使得CH=DH，F(xiàn)為CO上任意一點，過B作BE⊥AF于E，連接DE交BC于G．
（1）求證：∠CAF=∠CDE；
（2）求證：CF=GF．

Answer 1

考點：四點共圓,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）先連接BD，根據(jù)已知條件得出∠BEA=∠ACB=90°，得出A，B，C，E四點共圓且AB是此圓直徑，再根據(jù)CH⊥AB，CH=DH，確定出D也在此圓上，從而得出A，B，C，D，E五點共圓，即可證出∠CAF=∠CDE；
（2）根據(jù)（1）得出∠CDB=∠CAO，∠BCD=∠ACO，得出△AOC∽△DCB，同理證出△AOF∽△DBG，△ACF∽△DCG，從而得出

CF

FO

=

CG

BG

，即可證出GF∥BO，得出O是AB的中點，最后得出CF=GF．

解答：證明：（1）連接BD，
∵△ABC是Rt△，BE⊥AF
∴∠BEA=∠ACB=90°，
∴A，B，C，E四點共圓，且AB是此圓直徑，
又∵CH⊥AB，CH=DH，
∴D在此圓上，
∴A，B，C，D，E五點共圓，
∴∠CAF=∠CDE；

（2）由（1）得：∠CDB=∠CAO，∠BCD=∠ACO，
∴△AOC∽△DCB，
同理可證：△AOF∽△DBG，△ACF∽△DCG，
∴

AC

CD

=

AO

BD

，

FO

BG

=

AO

BD

，

AC

CD

=

CF

CG

，
∴

CF

CG

=

FO

BG

，
∴

CF

FO

=

CG

BG

，
∴GF∥BO，
又∵O是AB的中點，
∴CF=GF．

點評：此題考查了四點共圓，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進行解答，是我們初中數(shù)學(xué)的重點，是中考必考的題型．